Diclib.com
Dictionnaire ChatGPT

Recherche dans le dictionnaire Solutions personnalisées

Entrez un mot ou une phrase dans n'importe quelle langue 👆

Langue:

Traduction et analyse de mots par intelligence artificielle ChatGPT

Sur cette page, vous pouvez obtenir une analyse détaillée d'un mot ou d'une phrase, réalisée à l'aide de la meilleure technologie d'intelligence artificielle à ce jour:

comment le mot est utilisé
fréquence d'utilisation
il est utilisé plus souvent dans le discours oral ou écrit
options de traduction de mots
exemples d'utilisation (plusieurs phrases avec traduction)
étymologie

Qu'est-ce (qui) est Якобиан - définition

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ЯКОБИ

Якобиан отображения; Определитель Якоби; Функциональный определитель

Якобиан

функциональный определитель ∣a_ik∣₁ⁿ с элементами

, где y_i = f_i(X₁,..., X_n), l ≤ i ≤ n, - функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

.

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

y₁ = f₁ (. x₁, x₂), y₂ = f₂ (x₁, x₂) (1)

задаёт отображение области Δ, лежащей на плоскости x₁, x₂, на часть плоскости y₁, y₂. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области Δ и φ (y₁, у₂) - функция, заданная в области Δ₁ (образе Δ), то

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов (См. Кратный интеграл). Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x₁ = φ₁ (y₁, y₂), x₁ = φ₂(y₁, y₂),

причём

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций (См. Неявные функции). Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x₁⁽⁰⁾,..., x_n⁽⁰, y₁⁽⁰⁾,..., y_m⁽⁰⁾) функций y₁,..., у_т, неявно заданных уравнениями F_k (x₁,..., x_n, y₁,..., у_м) = 0, (2)

1 ≤ k ≤ m,

достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.

был отличен от нуля в точке М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Функциональный определитель

определитель, элементами которого являются функции одного или многих переменных. Наиболее важные примеры Ф. о. - Вронскиан, играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений высшего порядка, гессиан, применяемый в теории алгебраических кривых, и Якобиан, используемый при преобразовании кратных интегралов, установлении независимости системы функций и др. вопросах теории функций многих переменных. Производная Ф. о. D (x) = |a_ik(x)| n-го порядка равна сумме n Ф. о., матрицы которых получаются из матрицы ||a_ik(x)|| соответственно дифференцированием элементов первого, второго,..., n-го столбца. Например, если

,

то

.

Иногда термин "Ф. о." применяется для обозначения якобиана.

Матрица Якоби

Матрица Яко́би отображения \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m в точке x\in \R^n описывает главную линейную часть произвольного отображения \mathbf{u} в точке x.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_Якоби

Wikipédia

Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения $f$ в точке $x$ обычно обозначается $\mathop {\rm {Jac}} _{x}f$ , иногда также следующим образом:

{\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}

,или

{\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).

https://ru.wikipedia.org/wiki/Якобиан